ВЫПУКЛЫЙ И ВОГНУТЫЙ

Внутри этой статьи:
Найдем y » и определим, где вторая производная положительна и где отрицательна. y‘ = –2x, y» = –2 < 0 на (–∞; +∞), следовательно, функция всюду выпукла. Точка графика непрерывной функции, отделяющая его выпуклую часть от вогнутой, называется точкой перегиба. Очевидно, что в точке перегиба касательная, если она существует, пересекает кривую, т.к. с одной стороны от этой точки кривая лежит под касательной, а с другой стороны – над нею. Определим достаточные условия того, что данная точка кривой является точкой перегиба. Теорема. Пусть кривая определяется уравнением y = f(x). Если f »(x0) = 0 или f »(x0) не существует и при переходе через значение x = x0 производная f »(x) меняет знак, то точка графика функции с абсциссой x = x0 есть точка перегиба. Доказательство. Пусть f »(x) < 0 при x < x0 и f »(x) > 0 при x > x0. Тогда при x < x0 кривая выпукла, а при x > x0 – вогнута. Следовательно, точка A, лежащая на кривой, с абсциссой x0 есть точка перегиба. Аналогично можно рассматривать второй случай, когда f »(x) > 0 при x < x0 и f »(x) < 0 при x > x0. Таким образом, точки перегиба следует искать только среди таких точек, где вторая производная обращается в нуль или не существует. Примеры. Найти точки перегиба и определить интервалы выпуклости и вогнутости кривых. Найдем производные заданной функции до второго порядка. . Вторая производная не существует при x = 1. Исследуем эту точку на возможный перегиб. Итак, точка перегиба x = 1. Функция выпукла на (1; +∞), вогнута на (–∞; 1). Возможные точки перегиба найдем, решив уравнение 2x 2 – 1 = 0. Отсюда . Точки перегиба . Функция выпукла на и вогнута на . при всех x из (–1; 1). Следовательно, f(x) выпуклая на (–1; 1). АСИМПТОТЫ ГРАФИКА ФУНКЦИИ При исследовании функции важно установить форму ее графика при неограниченном удалении точки графика от начала координат. Особый интерес представляет случай, когда график функции при удалении его переменной точки в бесконечность неограниченно приближается к некоторой прямой. Прямая называется асимптотой графика функции y = f(x), если расстояние от переменной точки M графика до этой прямой при удалении точки M в бесконечность стремится к нулю, т.е. точка графика функции при своем стремлении в бесконечность должна неограниченно приближаться к асимптоте. Кривая может приближаться к своей асимптоте, оставаясь с одной стороны от нее или с разных сторон, бесконечное множество раз пересекая асимптоту и переходя с одной ее стороны на другую. Если обозначим через d расстояние от точки M кривой до асимптоты, то ясно, что d стремится к нулю при удалении точки M в бесконечность. Будем в дальнейшем различать асимптоты вертикальные и наклонные. ВЕРТИКАЛЬНЫЕ АСИМПТОТЫ Пусть при x→ x0 с какой-либо стороны функция y = f(x)неограниченно возрастает по абсолютной величине, т.е. или или . Тогда из определения асимптоты следует, что прямая x = x0 является асимптотой. Очевидно и обратное, если прямая x = x0 является асимптотой, т. о. . Таким образом, вертикальной асимптотой графика функции y = f(x) называется прямая, если f(x) → ∞ хотя бы при одном из условий x→ x0 – 0 или x → x0 + 0, x = x0 Следовательно, для отыскания вертикальных асимптот графика функции y = f(x) нужно найти те значения x = x0, при которых функция обращается в бесконечность (терпит бесконечный разрыв). Тогда вертикальная асимптота имеет уравнение x = x0. Найти вертикальные асимптоты графика функции . Так как , то прямая x = 2 является вертикальной асимптотой. Прямая x = 0 – вертикальная асимптота. НАКЛОННЫЕ АСИМПТОТЫ Поскольку асимптота – это прямая, то если кривая y = f(x) имеет наклонную асимптоту, то ее уравнение будет y = kx + b. Наша задача найти коэффициенты k и b. Теорема. Прямая y = kx + b служит наклонной асимптотой при x → +∞ для графика функции y = f(x) тогда и только тогда, когда . Аналогичное утверждение верно и при x → –∞. Доказательство. Пусть MP – длина отрезка, равного расстоянию от точки M до асимптоты. По условию . Обозначим через φ угол наклона асимптоты к оси Ox. Тогда из ΔMNP следует, что . Так как φ постоянный угол (φ ≠ π/2), то , но Как легко обработать выпуклый или вогнутый срез MN = MK – NK = y — yас = f(x) — (kx+b). Следовательно, мы можем записать следующее равенство . Так как x → +∞, то должно выполняться равенство . Но при постоянных k и b и . Следовательно, , т.е. . Если число k уже известно, то , поэтому . Для доказательства в случае x → –∞ все рассуждения аналогичны. Докажем обратное утверждение. Предположим, что существуют пределы, определяющие числа k и b. Тогда несложно заметить, что выполняется равенство . Действительно Следовательно, прямая y = kx + b есть асимптота. Теорема полностью доказана. Сделаем несколько замечаний. Замечание 1. Теорема показывает, что для нахождения асимптот достаточно найти два указанных предела. Причем, если хотя бы один из пределов не существует или обращается в бесконечность, то кривая асимптот не имеет. Замечание 2. В случае, когда k = 0 асимптота y = b называется горизонтальной асимптотой. Наличие горизонтальной асимптоты означает, что существуют пределы Замечание 3. Пределы для отыскания k и b могут быть различны при x → +∞ и x → – ∞ и, следовательно, график функции может иметь две различные асимптоты при x → +∞ и x → –∞. Примеры. Найти асимптоты кривых. x = 0 – вертикальная асимптота. При x → — ∞ получим те же значения k и b. Следовательно, прямая y = x + 2 является наклонной асимптотой. Итак, при x → +∞ наклонная асимптота у= х.
  • Правила расчета
  • Положительные комбинации
  • Предельные функции
  • Супремум и инфимум
  • состав
  • Обратные функции
  • Экстремальные значения
  • Существование и уникальность
  • Геометрия оптимальных наборов значений
  • Критерии экстремальных значений
  • Выпуклые параболические зеркала
  • Выпуклость и непрерывность
  • Более слабое определение выпуклости
  • Ограниченность и преемственность в стандартизированных пространствах
  • 8 класс, 2 урок, Выпуклый многоугольник
  • В конечномерных пространствах
  • В бесконечно мерных пространствах
  • Выпуклость и дифференцируемость
  • Выпуклость и первая производная
  • Вывод как критерий выпуклости
  • пример
  • Касательные
  • Выпуклость и вторая производная
  • Критерии выпуклости и двукратная дифференцируемость
  • Примеры
  • Выпуклые функции в геометрии
  • ВЫПУКЛЫЙ И ВОГНУТЫЙ
  • Как легко обработать выпуклый или вогнутый срез
  • ВЫПУКЛЫЙ И ВОГНУТЫЙ

    Символ показывает уровень знания интересующего вас языка и вашу подготовку. Выбирая ваш уровень знания языка, вы говорите пользователям как им нужно писать, чтобы вы могли их понять.

    Мне трудно понимать даже короткие ответы на данном языке.

    Могу задавать простые вопросы и понимаю простые ответы.

    Могу формулировать все виды общих вопросов. Понимаю ответы средней длины и сложности.

    Выпуклые и вогнутые функции

    В анализе функция с действительным знаком называется выпуклой, если ее график лежит ниже каждой соединительной линии между двумя ее точками. Это означает, что надграфик функции, то есть множество точек над графиком, является выпуклым множеством .

    Функция с действительным знаком называется вогнутой, если ее график лежит над каждой соединительной линией между двумя ее точками. Это эквивалентно тому факту, что гипограф функции, то есть множество точек под графиком, является выпуклым множеством.

    Одним из первых, кто изучал свойства выпуклых и вогнутых функций, был датский математик Йохан Людвиг Йенсен . Неравенство Йенсена названа его именем является основой важных результатов в теории вероятностей , теории меры и анализа.

    Особая важность выпуклых или вогнутых функций состоит в том, что они образуют гораздо большую группу, чем линейные функции , но также обладают многими свойствами, которые легко исследовать и которые позволяют делать утверждения о нелинейных системах . Например, поскольку каждый локальный минимум выпуклой функции также является глобальным минимумом, они важны для многих задач оптимизации ( см. Также: Оптимизация выпуклой формы ). Даже для выпуклых функционалов , определенных на бесконечномерных пространствах, аналогичные утверждения могут быть сделаны при определенных условиях. Следовательно, выпуклость также играет важную роль в вариационном исчислении .

    Оглавление

    • 1 определение
    • 8.1 Выпуклость и первая производная

    определение

    Есть два эквивалентных определения: с одной стороны, можно определить выпуклость, используя неравенство над значениями функции (аналитическое определение), с другой стороны, используя выпуклость множеств (геометрическое определение).

    Аналитическое определение

    ж ( θ Икс + ( 1 — θ ) y ) ≤ θ ж ( Икс ) + ( 1 — θ ) ж ( y ) .

    Геометрическое определение

    Функция называется выпуклой , если ее эпиграф выпуклое множество . Это определение имеет определенные преимущества для расширенных реальных функций , которые также могут принимать значения и для которых неопределенный член может встречаться в аналитическом определении . Выпуклость надграфика также показывает, что множество определения является выпуклым множеством. Выпуклая функция всегда имеет выпуклое множество определений; и наоборот, функция не является выпуклой, если ее множество определений не является выпуклым. ж : С. → Р. , С. ⊆ Р. п <\ Displaystyle е \ двоеточие С \ к \ mathbb , \ C \ substeq \ mathbb ^ > ± ∞ <\ displaystyle \ pm \ infty>( + ∞ ) + ( — ∞ ) <\ Displaystyle (+ \ infty) + (- \ infty)>С. ⊆ Р. п <\ Displaystyle С \ substeq \ mathbb ^ <п>>

    Вогнутые функции

    Если это выпуклая функция, то она называется вогнутой . Для вогнутых функций определения обратные, поэтому аналитическое определение вогнутой функции ж : С. → Р. , С. ⊆ Р. п <\ Displaystyle е: С \ к \ mathbb , \ C \ substeq \ mathbb ^ > — ж

    ∀ Икс , y ∈ С. , θ ∈ [ 0 , 1 ] : ж ( θ Икс + ( 1 — θ ) y ) ≥ θ ж ( Икс ) + ( 1 — θ ) ж ( y ) ,

    геометрическое определение вогнутой функции требует, чтобы гипограф был выпуклым множеством.

    Дальнейшие классификации

    Функция называется строго выпуклой или строго выпуклой, если неравенство аналитического определения выполняется в строгом смысле; то есть, для всех элементов из , и всех правил, Икс ≠ y <\ Displaystyle х \ neq y>С. <\ displaystyle C>θ ∈ ( 0 , 1 )

    Сильно выпуклые функции также являются строго выпуклыми, но обратное неверно.

    Если вы выберете с , вы получите неравенство для сильной выпуклости. ϕ знак равно μ 2 | ⋅ | 2 <\ Displaystyle \ phi = <\ tfrac <\ mu><2>> | \ cdot | ^ <2>> μ > 0

    Для терминов строго выпуклый, сильно выпуклый и равномерно выпуклый соответствующие аналоги могут быть определены строго вогнутыми, сильно вогнутыми и равномерно вогнутыми, обращая соответствующие неравенства.

    Примеры

    • Линейные функции бывают полностью выпуклыми и вогнутыми, но не строго. Р. <\ Displaystyle \ mathbb >
    • Квадратичная функция является строго выпуклой. ж : Р. → Р. : Икс ↦ Икс 2 <\ displaystyle f: \ mathbb \ to \ mathbb : x \ mapsto x ^ <2>>
    • Функция строго выпуклая. ж : < Икс ∈ Р. | | Икс | < 1 >→ Р. : Икс ↦ Икс 2 <\ displaystyle f: \ \ | \ | x | <1 \> \ to \ mathbb : x \ mapsto x ^ <2>>
    • Функция не является выпуклой, потому что множество определения не является выпуклым множеством. ж : < Икс ∈ Р. | | Икс | > 1 >→ Р. : Икс ↦ Икс 2 <\ displaystyle f: \ \ | \ | x |> 1 \> \ to \ mathbb : x \ mapsto x ^ <2>>
    • Функция строго вогнутая. ж : Р. → Р. : Икс ↦ — Икс 2 <\ displaystyle f: \ mathbb \ to \ mathbb : x \ mapsto -x ^ <2>>
    • Функция корня является строго вогнута в интервале . [ 0 , ∞ )
    • Функция абсолютного значения выпуклая, но не строго выпуклая. ж : Р. → Р. : Икс ↦ | Икс | <\ displaystyle f: \ mathbb \ to \ mathbb : x \ mapsto | x |>
    • Экспоненциальная функция строго выпукла на всем . Р. <\ Displaystyle \ mathbb >
    • Натуральный логарифм строго вогнута на интервале положительных действительных чисел.
    • Кубическая функция строго вогнута на интервале и строго выпуклой на отрезке . ж : Р. → Р. : Икс ↦ Икс 3 <\ displaystyle f: \ mathbb \ to \ mathbb : x \ mapsto x ^ <3>> ( — ∞ , 0 ) <\ displaystyle (- \ infty, 0)>( 0 , ∞ )
    • Функция, которая отображает точку на евклидовой плоскости на ее расстояние от начала координат, т. Е. Икс знак равно ( Икс 1 , Икс 2 ) ∈ Р. 2 <\ displaystyle x = (x_ <1>, x_ <2>) \ in \ mathbb ^ <2>>

    история

    Существенные утверждения о выпуклых и вогнутых функциях можно найти у Отто Гёльдера еще в 1889 году , хотя он еще не использовал термины, обычно используемые сегодня. Термины выпуклая и вогнутая функции были введены Йоханом Людвигом Йенсеном в 1905 году . Дженсен, однако, использовал более слабое определение, которое иногда все еще можно найти, особенно в более старых работах. В этом определении только неравенство

    при условии. Однако, как показал Дженсен, неравенство, используемое в сегодняшнем определении непрерывных функций, следует из этого

    ж ( т Икс + ( 1 — т ) y ) ≤ т ж ( Икс ) + ( 1 — т ) ж ( y )

    СЕКРЕТЫ ВЫБОРА КВОКА. «АЗБУКА РЫБАЛКИ с братьями Щербаковыми HD»

    для всех от 0 до 1. ( см. также: раздел выпуклость и непрерывность ) т

    Вещественнозначные функции, удовлетворяющие более слабому неравенству ( ), упомянутому выше, называются Йенсенов-выпуклыми или J-выпуклыми для краткости в честь Йохана Людвига Йенсена . т знак равно 1 2 <\ Displaystyle т = <\ tfrac <1><2>>>

    Элементарные свойства

    Соотношение выпуклости и вогнутости

    Функция (строго) выпуклая тогда и только тогда, когда функция (строго) вогнутая. Однако невыпуклая функция не обязательно должна быть вогнутой. Следовательно, выпуклость и вогнутость не являются дополнительными свойствами . ж <\ displaystyle f>— ж

    Линейные функции — единственные вогнутые и выпуклые функции.

    Кубическая функция находится в очень считается вогнутой еще не выпуклые. Интервал всех положительных действительных чисел строго выпуклый. Следовательно, функция, аддитивно обратная ей, здесь строго вогнута. ж ( Икс ) знак равно Икс 3 <\ Displaystyle е (х) = х ^ <3>> Р. <\ Displaystyle \ mathbb > ж <\ displaystyle f>— ж ( Икс ) знак равно — Икс 3 <\ Displaystyle -f (х) = - х ^ <3>>

    Так как это нечетная функция , то есть, отсюда следует , что оно строго вогнуто в интервале от всех отрицательных чисел. ж <\ displaystyle f>ж ( — Икс ) знак равно — ж ( Икс )

    Количество уровней

    В случае выпуклой функции все подуровневые множества, т.е. множества, имеют вид

    выпуклый. В случае вогнутой функции все подуровни выпуклые.

    Неравенство Дженсена

    В неравенстве Йенсена является обобщением аналитического определения к конечному числу узлов. В нем говорится о том , что функция значение выпуклой функции при конечной выпуклой комбинации из точек опоры меньше или равно выпуклой комбинации значений функции в точках поддержки. Для выпуклой и неотрицательной функции с : ж <\ displaystyle f>ж <\ displaystyle f \;>θ я <\ Displaystyle \ theta _ <я>\;> ∑ я знак равно 1 п θ я знак равно 1 <\ Displaystyle \ TextStyle \ сумма _ <я = 1>^ <п>\ тета _ <я>= 1>

    Для вогнутых функций неравенство применяется в противоположном направлении.

    Приведение к выпуклости вещественных функций

    Пространство архетипа выпуклой функции может быть любым вещественным векторным пространством, например векторным пространством вещественных матриц или непрерывных функций. Однако выпуклость функции эквивалентна выпуклости функции, определенной для всех , где есть и любое направление выключено. Это тогда . Это позволяет уменьшить размерность векторного пространства, что упрощает проверку выпуклости. ж : V ⊃ С. 1 → Р. <\ Displaystyle е \ двоеточие V \ supset C_ <1>\ to \ mathbb > грамм : Р. ⊃ С. 2 → Р. <\ Displaystyle г \ двоеточие \ mathbb \ supset C_ <2>\ to \ mathbb > грамм ( т ) знак равно ж ( Икс + т v ) <\ Displaystyle г (т) = е (х + ТВ)>Икс , v <\ displaystyle x, v>Икс ∈ С. 1 <\ Displaystyle х \ в C_ <1>> v <\ displaystyle v>V <\ displaystyle V>С. 2 знак равно < т ∈ Р. | Икс + т v ∈ С. 1 > <\ Displaystyle C_ <2>= \ \, | \, x + tv \ in C_ <1>\>>

    Неравенства для и θ < 0 <\ displaystyle \ theta <0>θ > 1

    Для или неравенства из определений (строгой) выпуклости и вогнутости меняют местами. К примеру, быть функцией , которая является выпуклой. Для баллов и с этого момента применяется θ < 0 <\ displaystyle \ theta <0>θ > 1 <\ displaystyle \ theta> 1>ж <\ displaystyle f>С. <\ displaystyle C>Икс <\ displaystyle x>y <\ displaystyle y>С.

    ж ( θ Икс + ( 1 — θ ) y ) ≥ θ ж ( Икс ) + ( 1 — θ ) ж ( y ) ,

    при условии, что точка также находится в пределах диапазона определения . Если — действительная выпуклая функция, неравенство явно означает, что значения функции вне интервала всегда находятся над прямой линией, соединяющей значения функции . ты знак равно θ Икс + ( 1 — θ ) y <\ Displaystyle и: = \ тета х + (1- \ тета) у>С. <\ displaystyle C>ж <\ displaystyle f>ж <\ displaystyle f>( Икс , y ) <\ Displaystyle (х, у)>ж ( Икс ) , ж ( y )

    Правила расчета

    Положительные комбинации

    Сумма двух (возможно, расширенных ) выпуклых функций снова является выпуклой функцией. Кроме того, выпуклость сохраняется при умножении на положительное действительное число. Таким образом, верно, что каждая положительная комбинация выпуклых функций, в свою очередь, является выпуклой. Он будет даже строго выпуклым, если одно из встречающихся слагаемых строго выпукло. Аналогично, любая положительная комбинация вогнутых функций также вогнута. Таким образом, выпуклые функции образуют выпуклый конус . Однако произведение выпуклых функций не обязательно будет выпуклым.

    ж 1 ( Икс ) знак равно Икс 2 , ж 2 ( Икс ) знак равно Икс , ж 3 ( Икс ) знак равно 1 <\ displaystyle f_ <1>(x) = x ^ <2>, f_ <2>(x) = x, f_ <3>(x) = 1>

    выпуклы во всем , парабола нормы даже строго выпуклая. Отсюда следует, что все функции вида Р. <\ Displaystyle \ mathbb > Икс 2 <\ displaystyle x ^ <2>>

    ж ( Икс ) знак равно а Икс 2 + б Икс + c <\ displaystyle f (x): = ax ^ <2>+ bx + c>

    со строго выпуклой в целом . Это тоже наглядно ясно, речь идет о параболах, загнутых вверх. Произведение функций и является кубической функцией , которая ( рассматриваемая в целом ) не является выпуклой. а , б , c > 0 <\ displaystyle a, b, c> 0>Р. <\ Displaystyle \ mathbb > ж 1 <\ displaystyle f_ <1>> ж 2 <\ displaystyle f_ <2>> Икс → Икс 3 <\ Displaystyle х \ к х ^ <3>> Р. <\ Displaystyle \ mathbb >

    Предельные функции

    Предельная функция в поточечной сходящейся последовательности выпуклых функций является функцией выпуклой. Точно так же предельная функция поточечно сходящегося ряда выпуклых функций снова является выпуклой функцией. То же верно и для вогнутых функций. Однако строгая выпуклость не обязательно сохраняется при формировании предельного значения, как видно из первого из двух следующих примеров.

    • Последовательность функций с является последовательностью строго выпуклых функций. Его поточечная предельная функция является постоянной нулевой функцией . Как линейная функция, это выпуклая, но не строго выпуклая функция. ж п ( Икс ) знак равно 1 п Икс 2 <\ displaystyle \ textstyle f_ (x): = <\ frac <1>> x ^ <2>> п ∈ N <\ Displaystyle п \ в \ mathbb > Р. <\ Displaystyle \ mathbb >
    • Гиперболический косинус может быть расширен как степенной ряд следующим образом : Р. <\ Displaystyle \ mathbb >

    Супремум и инфимум

    для всех так также является выпуклой функцией. Переход к функции показывает, что нижняя грань набора вогнутых функций (если она существует) также снова является вогнутой функцией. Однако формирование нижнего предела не обязательно приобретает выпуклость (и, наоборот, образование супремума не обязательно приобретает вогнутость), как показывает следующий пример. Икс <\ displaystyle x>ж <\ displaystyle f>— ж

    ж 1 ( Икс ) знак равно — Икс , ж 2 ( Икс ) знак равно Икс <\ displaystyle f_ <1>(x) = — x, f_ <2>(x) = x>

    являются линейными и, следовательно, как выпуклые, так и вогнутые. Верхняя грань и — функция суммы . Он выпуклый, но не вогнутый. Нижняя грань и является функцией отрицательного абсолютного значения . Это вогнутая, но не выпуклая. ж 1 <\ displaystyle f_ <1>> ж 2 <\ displaystyle f_ <2>> Икс → | Икс | <\ Displaystyle х \ к | х |>ж 1 <\ displaystyle f_ <1>> ж 2 <\ displaystyle f_ <2>> Икс → — | Икс |

    состав

    О композиции двух выпуклых функций и утверждений вообще встретиться не может. Однако если также верно и то, что наблюдается монотонный рост , композиция также будет выпуклой. грамм ∘ ж <\ displaystyle g \ circ f>ж <\ displaystyle f>грамм <\ displaystyle g>грамм

    Кроме того, композиция вогнутой функции с выпуклой монотонно убывающей действительной функцией, в свою очередь, является выпуклой функцией. грамм ∘ ж <\ displaystyle g \ circ f>ж <\ displaystyle f>грамм

    Любая композиция выпуклой функции с экспоненциальной функцией снова дает выпуклую функцию. Это также работает в общем случае, когда определено реальное векторное пространство. Например, для ж <\ displaystyle f>грамм ( Икс ) знак равно е Икс <\ Displaystyle г (х) = е ^ <х>> ж

    снова выпуклая функция. В частности, каждая логарифмически выпуклая функция является выпуклой функцией.

    Обратные функции

    Если на интервале задана обратимая и выпуклая функция, то из неравенства выпуклости следует ж

    Позволять монотонно возрастающая функция . Тогда при применении вышеуказанное неравенство отменяется . Применимо следующее: ж <\ displaystyle f>ж — 1 <\ displaystyle f ^ <- 1>>

    Таким образом, обратная функция является вогнутой (и монотонно возрастающей) функцией. Следовательно, для обратимой, монотонно возрастающей и выпуклой или вогнутой функции обратная функция имеет противоположный тип выпуклости. ж — 1 <\ displaystyle f ^ <- 1>>

    Однако для монотонно падающей и выпуклой функции применяется следующее: ж

    Следовательно, для обратимой монотонно падающей и выпуклой или вогнутой функции обратная функция имеет тот же тип выпуклости.

    Экстремальные значения

    Если начальное пространство выпуклой / вогнутой функции является топологическим векторным пространством (которое применяется, в частности, ко всем конечномерным вещественным векторным пространствам и, следовательно, также к ), можно делать утверждения о взаимосвязи между локальными и глобальными крайними точками. Затем применяется, что каждая локальная экстремальная точка также является глобальной экстремальной точкой. Строгая выпуклость или вогнутость также позволяет утверждать об уникальности экстремальных значений . Р. <\ Displaystyle \ mathbb >

    Существование и уникальность

    Непрерывная выпуклая или вогнутая функция принимает минимум и максимум на компакте . Компактность является эквивалентом , чтобы быть ограниченным и замкнутым. Это теорема о минимуме и максимуме, применяемая к выпуклым и вогнутым функциям. Если функция строго выпуклая, минимум определяется однозначно, если строго вогнутый, максимум определяется однозначно. Однако обратное неверно: функция не имеет глобального минимума в , но является строго выпуклой. ж : Р. п ⊇ С. → Р. <\ Displaystyle е \ двоеточие \ mathbb ^ \ supseteq C \ to \ mathbb > С. <\ displaystyle C>С. <\ displaystyle C>Р. п <\ Displaystyle \ mathbb ^ <п>> С. <\ displaystyle C>е Икс <\ displaystyle e ^ > Р. <\ Displaystyle \ mathbb >

    Аналогичные утверждения существуют для непрерывной функции на рефлексивном банаховом пространстве : непрерывный выпуклый функционал на компакте предполагает минимум там. Если функционал строго выпуклый, минимум единственен. V ⊃ С. → Р. <\ Displaystyle V \ supset C \ to \ mathbb > С.

    Геометрия оптимальных наборов значений

    В топологических векторных пространствах (которые почти всегда заданы) можно также исследовать локальные минимумы. Применяется следующее:

    • Если функция выпуклая, то каждый локальный минимум также является глобальным минимумом.
    • Если функция вогнутая, то каждый локальный максимум также является глобальным максимумом.

    Это можно показать непосредственно с помощью определяющих неравенств выпуклой и вогнутой функций.

    Кроме того, множество точек минимума выпуклой функции выпукло, а множество точек максимума вогнутой функции выпукло. Это следует из выпуклости количеств подуровня или количеств надуровня.

    Критерии экстремальных значений

    Для дифференцируемых выпуклых функций для определения крайних значений используется тот факт, что выпуклые функции глобально недооцениваются в каждой точке касательной в этой точке. Это относится , где обозначает на стандартное скалярное произведение. Если градиент теперь равен нулю в одной точке , то для всех и, следовательно, является локальным (и, следовательно, глобальным) минимумом. Точно так же с вогнутыми функциями всегда существует локальный (и, следовательно, глобальный) максимум в точке, если градиент или производная в этой точке исчезают. ∀ Икс , y ∈ С. : ж ( y ) ≥ ж ( Икс ) + ⟨ ∇ ж ( Икс ) , y — Икс ⟩ <\ displaystyle \ forall x, y \ in C: \ quad f (y) \ geq f (x) + \ langle \ nabla f (x), yx \ rangle>⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ <\ Displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle>Икс

    Выпуклые параболические зеркала

    Выпуклость и непрерывность

    Если предположить непрерывность действительной функции , то условие, что следующее неравенство выполняется для всего интервала определения, достаточно, чтобы показать ее выпуклость : ж <\ displaystyle f>Икс , y

    Это соответствует определению выпуклости Дженсена. И наоборот, каждая функция, определенная на интервале, удовлетворяющем приведенному выше неравенству, непрерывна во внутренних точках . Разрывы могут возникать не более чем в краевых точках, как в примере функции с [ 0 , ∞ ) → Р. <\ displaystyle [0, \ infty) \ to \ mathbb >

    показывает, который является выпуклым, но имеет разрыв в краевой точке . Икс знак равно 0

    Таким образом, два способа определения выпуклости эквивалентны, по крайней мере, для открытых интервалов. Степень, в которой этот результат может быть перенесен на общие топологические пространства, рассматривается в следующих двух разделах.

    В этой связи следует упомянуть теорему Бернштейна-Дойча , из которой в общем случае можно получить следующий результат:

    Более слабое определение выпуклости

    ж ( λ Икс + ( 1 — λ ) y ) ≤ λ ж ( Икс ) + ( 1 — λ ) ж ( y ) .

    Это можно показать с помощью подходящего вложения интервалов. Полностью оформленное доказательство находится в архиве вещественных доказательств .

    Следующий контрпример показывает, что в этом более слабом определении выпуклости требуется непрерывность.

    Позволять Амель базис векторного пространства действительных чисел над полем рациональных чисел, то есть множества действительных чисел линейно независимых над полем рациональных чисел, в котором каждое вещественное число имеет единственное представление в виде только с конечным числом рациональные . Выполняется при любом выборе функции , но не обязательно выпуклой. Б. ⊂ Р. <\ Displaystyle B \ подмножество \ mathbb > р <\ displaystyle r>р знак равно ∑ б ∈ Б. q б б <\ displaystyle r = \ sum _ q_ b> q б ≠ 0 <\ displaystyle q_ \ neq 0> ж ( б ) <\ displaystyle f (b)>ж ( р ) знак равно ∑ б ∈ Б. q б ж ( б ) <\ displaystyle f (r): = \ sum _ q_ f (b)> ж ( Икс + y 2 ) ≤ ж ( Икс ) + ж ( y ) 2 , <\ displaystyle f \ left (<\ frac <2>> \ right) \ leq <\ frac <2>>,>

    Ограниченность и преемственность в стандартизированных пространствах

    Если установить для функции в дополнение к условию, что для фиксированной функции отношение ж <\ displaystyle f>λ ∈ ( 0 , 1 )

    ж ( λ Икс + ( 1 — λ ) y ) ≤ λ ж ( Икс ) + ( 1 — λ ) ж ( y )

    для всех , из выпуклого подмножества в нормированном векторном пространстве , он по- прежнему имеет место заранее , что она будет ограничена вверх , то это уже из этого следует непрерывности в внутренних точках зрения . Это становится понятным из того факта, что в точке разрыва можно провести любую крутую соединительную линию между двумя значениями функции, при этом функция между двумя значениями должна лежать ниже соединительной линии и за пределами двух значений выше соединительной линии. . Если прямая соединительная линия может стать сколь угодно крутой, в какой-то момент вы столкнетесь с верхней границей функции. Икс <\ displaystyle x>y <\ displaystyle y>С. <\ displaystyle C>ж <\ displaystyle f>ж <\ displaystyle f>С.

    Однако формально доказательство несколько сложнее. Полная версия находится в архиве доказательств .

    Утверждение о непрерывности выпуклой ограниченной функции во внутренних точках также важно для решения функционального уравнения Коши

    Из этого утверждения следует, что это функциональное уравнение имеет единственное решение, если дополнительно требуется, чтобы оно было ограниченным. ж

    8 класс, 2 урок, Выпуклый многоугольник

    В конечномерных пространствах

    Выпуклые функции , которые определены на подмножестве конечномерного вещественного векторного пространства , непрерывны во внутренних точках. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим внутренний момент . Для этого есть симплекс с угловыми точками , который также содержит внутреннюю точку. Но каждая точка в форме ж <\ displaystyle f>С. <\ displaystyle C>Р. п <\ Displaystyle \ mathbb ^ <п>> а ∈ С. <\ displaystyle a \ in C>С. п ⊆ С. <\ displaystyle S_ \ substeq C> п 1 , . , п п , п п + 1 <\ displaystyle p_ <1>, \ dotsc, p_ , p_ > а <\ displaystyle a>Икс ∈ С. п <\ Displaystyle х \ в S_ <п>>

    и презентабельно для всех . В соответствии с этим неравенством теперь применяется 0 ≤ т j ≤ 1 <\ Displaystyle 0 \ Leq T_ \ Leq 1> j

    ж ( Икс ) знак равно ж ( ∑ j знак равно 1 п + 1 т j п j ) ≤ ∑ j знак равно 1 п + 1 т j ж ( п j ) ≤ Максимум ж ( п j ) <\ Displaystyle е (х) = е \ влево (\ сумма _ ^ t_ p_ \ right) \ leq \ sum _ ^ t_ f (p_ ) \ leq \ max f (p_ )> .

    ж <\ displaystyle f>Поэтому ограничена вверх к и , таким образом, как показано выше, непрерывна на внутренней точке . С. п <\ displaystyle S_ > а

    В бесконечно мерных пространствах

    В бесконечномерном случае выпуклые функции не обязательно непрерывны, поскольку существуют, в частности, линейные (а значит, и выпуклые) функционалы , которые не являются непрерывными.

    Выпуклость и дифференцируемость

    Выпуклость и первая производная

    Выпуклая или вогнутая функция, определенная на открытом интервале, локально липшицева и поэтому, согласно теореме Радемахера, дифференцируема почти всюду . Его можно различить в каждой точке слева и справа .

    Вывод как критерий выпуклости

    Первую производную можно использовать в качестве критерия выпуклости двумя способами. Является непрерывно дифференцируемой действительной функцией ж : Р. ⊇ С. → Р. <\ Displaystyle е \ двоеточие \ mathbb \ supseteq C \ to \ mathbb >

    Этот результат можно найти в работах Отто Гёльдера еще в 1889 году . С расширенным термином монотонности для векторных функций это также может быть расширено для функций . Тогда (строго / равномерно) выпукло тогда и только тогда, когда (строго / равномерно) монотонно. ж : Р. п ⊇ С. → Р. <\ Displaystyle е \ двоеточие \ mathbb ^ \ supseteq C \ to \ mathbb > ж <\ displaystyle f>∇ ж

    В качестве альтернативы является дифференцируемой функцией тогда и только тогда, когда ж : Р. п ⊇ С. → Р. <\ Displaystyle е \ двоеточие \ mathbb ^ \ supseteq C \ to \ mathbb >

    пример

    После первого критерия выпуклости теперь необходимо проверить вывод на монотонность. Есть и , так оно и есть , поскольку числитель и знаменатель действительно положительны. Таким образом, она строго монотонно падает и, следовательно, строго вогнута . Икс < y ⟺ 0 < y — Икс <\ displaystyle x <y \ iff 0 <yx>Икс , y ∈ ( 0 , ∞ ) <\ Displaystyle х, у \ в (0, \ infty)>ж ′ ( Икс ) — ж ′ ( y ) знак равно 1 Икс — 1 y знак равно y — Икс Икс y > 0 <\ displaystyle f '(x) -f' (y) = <\ tfrac <1>> — <\ tfrac <1>> = <\ tfrac >> 0> ж ′ <\ displaystyle f '>ж <\ displaystyle f>( 0 , ∞ )

    После второго критерия однообразия проверяется наличие Икс ≠ y

    Глядя на функцию

    ж ( Икс 1 , Икс 2 ) знак равно е Икс 1 + 1 2 Икс 1 2 + Икс 2 2 — 4-й Икс 1 + Икс 2 <\ displaystyle f (x_ <1>, x_ <2>) = e ^ > + <\ tfrac <1><2>> x_ <1>^ <2>+ x_ <2>^ < 2>-4x_ <1>+ x_ <2>> ,

    поэтому все частные производные непрерывны и справедливы для градиента

    Для проверки первого критерия выпуклости формируем для Икс ≠ y

    ( Икс — y ) Т ( ∇ ж ( Икс ) — ∇ ж ( y ) ) знак равно ( Икс 1 — y 1 ) 2 + 2 ( Икс 2 — y 2 ) 2 + ( Икс 1 — y 1 ) ( е Икс 1 — е y 1 ) > 0 <\ displaystyle (xy) ^ (\ nabla f (x) — \ nabla f (y)) = (x_ <1>-y_ <1>) ^ <2>+2 (x_ <2>-y_ <2>) ^ <2>+ (x_ <1>-y_ <1>) (e ^ > — e ^ >)> 0> ,

    поскольку квадратичные члены всегда действительно положительны, положительность членов следует из монотонности экспоненциальной функции. Следовательно, функция строго монотонна, т. Е. Также строго выпуклая. е

    Касательные

    Графики дифференцируемых выпуклых функций лежат над каждой их касательной . Точно так же вогнутые функции всегда ниже своих касательных. Это непосредственно следует из второго критерия выпуклости. Это также можно интерпретировать таким образом, что разложение Тейлора первой степени всегда глобально недооценивает выпуклую функцию. Из этих свойств, например, следует обобщение неравенства Бернулли :

    Выпуклость и вторая производная

    Критерии выпуклости и двукратная дифференцируемость

    Дальнейшие утверждения могут быть сделаны для функции, которую можно дифференцировать дважды . выпукло тогда и только тогда, когда его вторая производная неотрицательна. Является ли последовательно положительным, то есть всегда изогнута влево , то отсюда следует , что она строго выпукла. Аналогично, является вогнутым тогда и только тогда, когда применимо. Если он постоянно отрицательный, т.е. всегда изогнут вправо, он строго вогнутый. ж <\ displaystyle f>ж <\ displaystyle f>ж ″ <\ displaystyle f ''>ж <\ displaystyle f>ж <\ displaystyle f>ж <\ displaystyle f>ж ″ ≤ 0 <\ displaystyle f '' \ leq 0>ж ″ <\ displaystyle f ''>ж <\ displaystyle f>ж

    Является ли многомерная функция дважды непрерывно дифференцируема , то применяется , что тогда выпукло точный , когда матрица Гесса из неотрицательно есть. Если матрица Гессе положительна , то она строго выпуклая. Наоборот, она вогнута тогда и только тогда, когда матрица Гессе отрицательно полуопределенная . Если матрица Гессе отрицательна , то она строго вогнутая. ж : Р. п → Р. <\ Displaystyle е \ двоеточие \ mathbb ^ \ to \ mathbb > ж <\ displaystyle f>ж <\ displaystyle f>ж <\ displaystyle f>ж <\ displaystyle f>ж <\ displaystyle f>ж <\ displaystyle f>ж <\ displaystyle f>ж

    По сути, критерии выпуклости второго порядка основаны на проверке монотонности вывода с использованием критериев монотонности, которые, в свою очередь, основаны на дифференцируемости.

    Примеры

    Функция с выпуклая, так как она для всех . Фактически, он строго выпуклый, что доказывает, что строгая выпуклость не означает, что вторая производная положительна ( имеет нуль в 0). ж ( Икс ) знак равно Икс 4-й <\ Displaystyle е (х) = х ^ <4>> ж ″ ( Икс ) знак равно 12-е Икс 2 <\ displaystyle f '' (x) = 12x ^ <2>> ж ″ ( Икс ) ≥ 0 <\ displaystyle f '' (х) \ geq 0>Икс <\ displaystyle x>ж ″

    Рассмотренная выше функция дважды непрерывно дифференцируема со второй производной для всех . Так что функция строго вогнутая. ж ( Икс ) знак равно пер ⁡ ( Икс ) <\ Displaystyle е (х) = \ пер (х)>Я. знак равно ( 0 , ∞ ) <\ Displaystyle I = (0, \ infty)>ж ″ ( Икс ) знак равно — 1 Икс 2 < 0 <\ displaystyle f '' (x) = - <\ tfrac <1>>> <0> Икс ∈ Я.

    Глядя на функцию

    ж ( Икс 1 , Икс 2 ) знак равно е Икс 1 + 1 2 Икс 1 2 + Икс 2 2 — 4-й Икс 1 + Икс 2 <\ displaystyle f (x_ <1>, x_ <2>) = e ^ > + <\ tfrac <1><2>> x_ <1>^ <2>+ x_ <2>^ < 2>-4x_ <1>+ x_ <2>> ,

    так ее матрица Гессе

    Он имеет положительную определенность, потому что все его внутренние ценности действительно положительны. Так что он строго выпуклый. ж

    Выпуклые функции в геометрии

    Непустое замкнутое подмножество действительного нормализованного векторного пространства является выпуклым тогда и только тогда, когда сквозное А. <\ displaystyle A>V

    ж ( Икс ) знак равно d ( Икс , А. ) , Икс ∈ V

    функция определенного расстояния является выпуклой функцией . ж : V → Р. <\ displaystyle f \ двоеточие V \ to \ mathbb >

    То же свойство применяется не только к подмножествам , но и в целом к ​​подмножествам пространств CAT (0) , в частности римановых многообразий неположительной секционной кривизны . Выпуклость функции расстояния — важный инструмент при исследовании пространств с неположительной кривизной. Р. п <\ Displaystyle \ mathbb ^ <п>>

    ВЫПУКЛЫЙ И ВОГНУТЫЙ

    График функции y=f(x) называется выпуклым на интервале (a; b), если он расположен ниже любой своей касательной на этом интервале.

    График функции y=f(x) называется вогнутым на интервале (a; b), если он расположен выше любой своей касательной на этом интервале.

    На рисунке показана кривая, выпуклая на (a; b) и вогнутая на (b; c).

    1. Полуокружность выпукла на [–1; 1].
    2. Парабола y = x 2 вогнута на интервале (-∞; +∞).
    3. График функции в одних интервалах может быть выпуклым, а в других вогнутым. Так график функции y = sin x на [0,2; π], выпуклый в интервале (0; π) и вогнутый в (π; 2π).

    Рассмотрим достаточный признак, позволяющий установить, будет ли график функции в данном интервале выпуклым или вогнутым.

    Теорема. Пусть y=f(x) дифференцируема на (a; b). Если во всех точках интервала (a; b) вторая производная функции y = f(x) отрицательная, т.е. f »(x) < 0, то график функции на этом интервале выпуклый, если же f»(x) > 0 – вогнутый.

    Доказательство. Предположим для определенности, что f»(x) < 0 и докажем, что график функции будет выпуклым.

    Возьмем на графике функции y = f(x) произвольную точку M0 с абсциссой x0 Î (a; b) и проведем через точку M0 касательную. Ее уравнение . Мы должны показать, что график функции на (a; b) лежит ниже этой касательной, т.е. при одном и том же значении x ордината кривой y = f(x) будет меньше ордината касательной.

    Итак, уравнение кривой имеет вид y = f(x). Обозначим ординату касательной, соответствующую абсциссе x. Тогда . Следовательно, разность ординат кривой и касательной при одном и том же значении x будет .

    Разность f(x) – f(x0) преобразуем по теореме Лагранжа , где c между x и x0.

    К выражению, стоящему в квадратных скобках снова применим теорему Лагранжа: , где c1 между c0 и x0. По условию теоремы f »(x) < 0. Определим знак произведения второго и третьего сомножителей.

    1. Предположим, что x>x0. Тогда x0<c1<c<x, следовательно, (x – x0) > 0 и (c – x0) > 0. Поэтому .
    2. Пусть x<x0, следовательно, x < c < c1 < x0 и (x – x0) < 0, (c – x0) < 0. Поэтому вновь .

    Таким образом, любая точка кривой лежит ниже касательной к кривой при всех значениях x и x0 Î (a; b), а это значит, что кривая выпукла. Вторая часть теоремы доказывается аналогично.

      Установить интервалы выпуклости и вогнутости кривой y = 2 – x 2 .

    Найдем y » и определим, где вторая производная положительна и где отрицательна. y‘ = –2x, y» = –2 < 0 на (–∞; +∞), следовательно, функция всюду выпукла.

    Точка графика непрерывной функции, отделяющая его выпуклую часть от вогнутой, называется точкой перегиба.

    Очевидно, что в точке перегиба касательная, если она существует, пересекает кривую, т.к. с одной стороны от этой точки кривая лежит под касательной, а с другой стороны – над нею.

    Определим достаточные условия того, что данная точка кривой является точкой перегиба.

    Теорема. Пусть кривая определяется уравнением y = f(x). Если f »(x0) = 0 или f »(x0) не существует и при переходе через значение x = x0 производная f »(x) меняет знак, то точка графика функции с абсциссой x = x0 есть точка перегиба.

    Доказательство. Пусть f »(x) < 0 при x < x0 и f »(x) > 0 при x > x0. Тогда при x < x0 кривая выпукла, а при x > x0 – вогнута. Следовательно, точка A, лежащая на кривой, с абсциссой x0 есть точка перегиба. Аналогично можно рассматривать второй случай, когда f »(x) > 0 при x < x0 и f »(x) < 0 при x > x0.

    Таким образом, точки перегиба следует искать только среди таких точек, где вторая производная обращается в нуль или не существует.

    Примеры. Найти точки перегиба и определить интервалы выпуклости и вогнутости кривых.

    Найдем производные заданной функции до второго порядка.

    . Вторая производная не существует при x = 1. Исследуем эту точку на возможный перегиб.

    Итак, точка перегиба x = 1. Функция выпукла на (1; +∞), вогнута на (–∞; 1).

    Возможные точки перегиба найдем, решив уравнение 2x 2 – 1 = 0. Отсюда .

    Точки перегиба . Функция выпукла на и вогнута на .

    при всех x из (–1; 1).

    Следовательно, f(x) выпуклая на (–1; 1).

    АСИМПТОТЫ ГРАФИКА ФУНКЦИИ

    При исследовании функции важно установить форму ее графика при неограниченном удалении точки графика от начала координат.

    Особый интерес представляет случай, когда график функции при удалении его переменной точки в бесконечность неограниченно приближается к некоторой прямой.

    Прямая называется асимптотой графика функции y = f(x), если расстояние от переменной точки M графика до этой прямой при удалении точки M в бесконечность стремится к нулю, т.е. точка графика функции при своем стремлении в бесконечность должна неограниченно приближаться к асимптоте.

    Кривая может приближаться к своей асимптоте, оставаясь с одной стороны от нее или с разных сторон, бесконечное множество раз пересекая асимптоту и переходя с одной ее стороны на другую.

    Если обозначим через d расстояние от точки M кривой до асимптоты, то ясно, что d стремится к нулю при удалении точки M в бесконечность.

    Будем в дальнейшем различать асимптоты вертикальные и наклонные.

    ВЕРТИКАЛЬНЫЕ АСИМПТОТЫ

    Пусть при xx0 с какой-либо стороны функция y = f(x)неограниченно возрастает по абсолютной величине, т.е. или или . Тогда из определения асимптоты следует, что прямая x = x0 является асимптотой. Очевидно и обратное, если прямая x = x0 является асимптотой, т. о. .

    Таким образом, вертикальной асимптотой графика функции y = f(x) называется прямая, если f(x) → ∞ хотя бы при одном из условий xx0 – 0 или xx0 + 0, x = x0

    Следовательно, для отыскания вертикальных асимптот графика функции y = f(x) нужно найти те значения x = x0, при которых функция обращается в бесконечность (терпит бесконечный разрыв). Тогда вертикальная асимптота имеет уравнение x = x0.

      Найти вертикальные асимптоты графика функции .

    Так как , то прямая x = 2 является вертикальной асимптотой.

    Прямая x = 0 – вертикальная асимптота.

    НАКЛОННЫЕ АСИМПТОТЫ

    Поскольку асимптота – это прямая, то если кривая y = f(x) имеет наклонную асимптоту, то ее уравнение будет y = kx + b. Наша задача найти коэффициенты k и b.

    Теорема. Прямая y = kx + b служит наклонной асимптотой при x → +∞ для графика функции y = f(x) тогда и только тогда, когда . Аналогичное утверждение верно и при x → –∞.

    Доказательство. Пусть MP – длина отрезка, равного расстоянию от точки M до асимптоты. По условию . Обозначим через φ угол наклона асимптоты к оси Ox. Тогда из ΔMNP следует, что . Так как φ постоянный угол (φ ≠ π/2), то , но

    Как легко обработать выпуклый или вогнутый срез

    MN = MK – NK = y — yас = f(x) — (kx+b).

    Следовательно, мы можем записать следующее равенство .

    Так как x → +∞, то должно выполняться равенство . Но при постоянных k и b и . Следовательно, , т.е. .

    Если число k уже известно, то , поэтому .

    Для доказательства в случае x → –∞ все рассуждения аналогичны.

    Докажем обратное утверждение. Предположим, что существуют пределы, определяющие числа k и b. Тогда несложно заметить, что выполняется равенство . Действительно

    Следовательно, прямая y = kx + b есть асимптота. Теорема полностью доказана.

    Сделаем несколько замечаний.

    Замечание 1. Теорема показывает, что для нахождения асимптот достаточно найти два указанных предела. Причем, если хотя бы один из пределов не существует или обращается в бесконечность, то кривая асимптот не имеет.

    Замечание 2. В случае, когда k = 0 асимптота y = b называется горизонтальной асимптотой. Наличие горизонтальной асимптоты означает, что существуют пределы

    Замечание 3. Пределы для отыскания k и b могут быть различны при x → +∞ и x → – ∞ и, следовательно, график функции может иметь две различные асимптоты при x → +∞ и x → –∞.

    Примеры. Найти асимптоты кривых.

    x = 0 – вертикальная асимптота.

    При x → — ∞ получим те же значения k и b. Следовательно, прямая y = x + 2 является наклонной асимптотой.

    Итак, при x → +∞ наклонная асимптота у= х.

    Оцените статью
    Как сделать подарки и поделки своими руками